Elektrotechnik – 3. Gleichstrom

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Elektrotechnik – Straub

3. Gleichstrom

  1. Stromstärke und Stromdichte
  2. Stromleitung in Metallen
  3. Ohm’sches Gesetz und Widerstand
  4. Temperaturabhängigkeit des Widerstands
  5. Die Kirchhoff’schen Gesetze
  6. Reihen- und Parallelschaltung, Teilerregeln
  7. Zweipoltheorie
  8. Arbeit und Leistung
  9. Reale Messungen im Gleichstromkreis
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Elektrischer Strom (electric current)

Strom ist der gerichtete Fluss von elektrischer Ladung

  • Stromdichte
    • : Geschwindigkeit positiver Ladungsträger
  • Stromstärke
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Stromrichtung & Ladungsträger

  • zeigt in die Richtung, in die sich positive Ladung bewegt – egal ob die tatsächlichen Ladungsträger positiv oder negativ sind!
  • Das ist auch die Zählrichtung der Stromstärke („technische Stromrichtung")
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Stromleitung in Metallen

  • In Metallen gibt jedes Atom Elektronen ab, die sich frei im Gitter der positiv geladenen Atomrümpfe bewegen können („Elektronengas")
  • Die Ladungsdichte der Elektronen ist jederzeit konstant, da eine Ansammlung ein elektrisches Feld erzeugen würde, das durch Abstoßung der Elektronen wieder ausgeglichen wird → der Leiter ist überall elektrisch neutral
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Metalle im elektrischen Feld

Klassisches Bild: erfährt das Elektronengas ein elektrisches Feld, werden die Elektronen beschleunigt, nach kurzer Zeit aber durch Stöße mit dem Metallgitter wieder abgebremst. Im Mittel ergibt sich eine konstante Driftgeschwindigkeit , entgegen der Feldrichtung: mit .

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Zahlenbeispiel: Driftgeschwindigkeit im Kupferdraht

Kupfer, , :

  • Dichte freier Elektronen:
  • Ladungsträgerdichte:
  • Stromdichte:
  • Driftgeschwindigkeit: 🐌

Warum geht das Licht trotzdem sofort an? → Das Feld breitet sich (fast) mit Lichtgeschwindigkeit aus, nicht die Elektronen.

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Ohm’sches Gesetz (Ohm’s law)

  • Für ein gegebenes Material ist die Stromdichte umso höher, je höher das elektrische Feld ist
  • Der Proportionalitätsfaktor ist die elektrische Leitfähigkeit :

Achtung: die proportionale Beziehung gilt nur für lineare Leiter (z.B. Metalle bei konstanter Temperatur)

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Ohm’sches Gesetz im linearen Leiter

Leiter der Länge , Querschnitt , homogenes Feld:

Elektrischer Widerstand (electric resistance):

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Widerstand und Leitwert

Der elektrische Widerstand ist definiert durch das Ohm’sche Gesetz:

Der elektrische Leitwert ist der Kehrwert des Widerstands:

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Materialeigenschaften vs. Bauteilgrößen

Materialeigenschaften (unabhängig von der Geometrie):

  • Spezifischer Widerstand
  • Leitfähigkeit

Bauteilgrößen (abhängig von der Geometrie):

  • Widerstand
  • Leitwert

Beispiel: Kupfer hat immer die gleiche Leitfähigkeit , aber ein dickeres Kabel hat einen kleineren Widerstand .

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Übersicht der Größen im linearen Leiter

Größe Definition Einheit Name
Spannung (voltage) Volt
Stromstärke (current) Ampere
Widerstand (resistance) Ohm
Leitwert (conductance) Siemens
spezifischer Widerstand (resistivity) Ohm-Meter
Leitfähigkeit (conductivity) Siemens pro Meter
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📝 Jetzt sind Sie dran: Stromdichte & Widerstand (zu zweit)

Aufgabe 6

In einer Glühlampe (12 V, Kfz-Blinker) fließt ein Strom .

a) Wie groß ist die Stromdichte im Glühfaden ()?
b) Wie groß ist die Stromdichte in der Zuleitung ()?
c) Ein Kupferdraht hat die Länge und den Querschnitt (). Wie groß ist sein Widerstand ?
d) Welchen Widerstand hat ein Draht gleicher Abmessungen aus Aluminium ()?

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Temperaturabhängigkeit des Widerstands

Bei den meisten Materialien ändert sich der Widerstand mit der Temperatur.

Lineare Näherung:

  • : Temperaturkoeffizient,
  • : Bezugstemperatur (üblicherweise 20 °C oder 0 °C)
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Leitfähigkeit verschiedener Materialien

Bei Leitern nimmt der Widerstand mit steigender Temperatur zu ().

Typische Werte bei 20 °C:

Leitermaterial (µΩ·m) (MS/m) (1/K)
Silber 0,016 63 3,8 · 10⁻³
Kupfer 0,017 58 3,9 · 10⁻³
Aluminium 0,027 38 4,3 · 10⁻³
Messing 0,062 16 2,0 · 10⁻³
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Metalle als Temperatursensoren

Die Temperaturabhängigkeit macht Metalle zu präzisen Temperatursensoren.

Platin-Widerstandsthermometer (Pt100):

Vorteile: hohe Langzeitstabilität, Messbereich −200 °C bis +850 °C, gute Linearität

Klausur-Klassiker: aus gemessenem (oder bei bekanntem Strom) die Temperatur bestimmen! (→ Woche 5)

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Knotenpunktregel (1. Kirchhoff’sches Gesetz)

In einem Knotenpunkt kann weder Ladung gespeichert noch erzeugt werden. Die Summe aller zufließenden Ströme ist gleich der Summe aller abfließenden Ströme:

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Maschenregel (2. Kirchhoff’sches Gesetz)

Die Summe aller in einer Masche auftretenden Spannungen ist Null:

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Wie viele unabhängige Gleichungen gibt es?

Netzwerk mit Knoten und Zweigen:

  • Unabhängige Knotengleichungen:
    (die letzte Knotengleichung folgt aus den anderen)
  • Unabhängige Maschengleichungen:

Zusammen: Gleichungen für unbekannte Zweigströme ✓

Beispiel: 2 Knoten, 3 Zweige → 1 Knotengleichung + 2 Maschengleichungen

Typische Prüfungsfrage: „Wie viele unabhängige Knotenpunktgleichungen gibt es hier? Stellen Sie diese auf."

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Reihenschaltung von Widerständen

  • Gleicher Strom durch alle Widerstände:
  • Gesamtspannung = Summe der Einzelspannungen
  • Gesamtwiderstand > größter Einzelwiderstand
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Spannungsteiler

Bei einer Reihenschaltung teilt sich die Gesamtspannung im Verhältnis der Widerstände auf:

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Parallelschaltung von Widerständen

  • Gesamtstrom = Summe der Einzelströme (Knotenregel!)
  • Gleiche Spannung an allen Widerständen
  • Gesamtwiderstand < kleinster Einzelwiderstand

Herleitung:

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Stromteilerregel

Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Gesamtstrom im umgekehrten Verhältnis der Widerstände bzw. im direkten Verhältnis der Leitwerte auf:

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Reihe oder parallel? So erkennt man es wirklich

  • In Reihe ⇔ beide führen zwingend denselben Strom
    ⇔ zwischen ihnen liegt kein Knoten mit Abzweig
  • Parallel ⇔ beide hängen an denselben zwei Knoten
    ⇔ an beiden liegt zwingend dieselbe Spannung

⚠️ Wie die Schaltung gezeichnet ist, bedeutet gar nichts!

Methode: Knoten markieren (einfärben/nummerieren) → alle Punkte, die nur durch Draht verbunden sind, sind derselbe Knoten → dann neu zeichnen.

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🤔 Reihe, parallel – oder keins von beidem?


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📝 Jetzt sind Sie dran: Spannungsteiler (zu zweit)

Aufgabe 7

Ein Spannungsteiler besteht aus an einer Quelle . Am Abgriff (über ) wird die Spannung abgenommen. Zeichnen Sie die Schaltung selbst!

a) Wie groß ist im Leerlauf (kein Verbraucher angeschlossen)?

b) Nun wird ein Verbraucher an den Abgriff angeschlossen (parallel zu ). Wie groß ist jetzt?

c) Wie viele Knoten, Zweige und unabhängige Gleichungen hat die Schaltung aus b)?

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Zwischenstand & Ausblick

Heute:

  • Strom = Ladungstransport; , Stromdichte
  • Ohm: – Material () × Geometrie ()
  • : linear mit Temperaturkoeffizient → Pt100-Sensor
  • Kirchhoff: (Knoten), (Masche); unabhängige Knotengleichungen
  • Teilerregeln: Spannung ∝ R (Reihe), Strom ∝ G (parallel)
  • Ein belasteter Spannungsteiler bricht ein!

Nächste Woche: Quellen und Zweipoltheorie – jedes lineare Netzwerk schrumpft auf zwei Kenngrößen.

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Zweipoltheorie

Ein Zweipol (two-pole) oder Eintor (one-port) ist ein elektrisches Bauteil mit zwei zugänglichen Anschlüssen.

Das große Versprechen dieses Abschnitts: Jedes noch so komplizierte lineare Netzwerk verhält sich an zwei Klemmen wie eine Quelle mit zwei Kenngrößen ( und ).

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Passive lineare Zweipole

  • Passiv: Zweipol gibt keine Energie ab
  • Linear: Strom-Spannungs-Kennlinie ist eine Gerade

Passive lineare Zweipole können zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden:

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Ideale Spannungsquelle

Eine ideale Spannungsquelle liefert eine konstante Spannung , unabhängig von der Belastung.

  • Konstante Klemmenspannung
  • Innenwiderstand
  • Beliebiger Strom möglich
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Ideale Stromquelle

Eine ideale Stromquelle liefert einen konstanten Strom , unabhängig von der Belastung.

  • Konstanter Strom
  • Innenwiderstand
  • Beliebige Spannung möglich
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Reale Spannungsquelle

Eine reale Spannungsquelle = ideale Spannungsquelle in Reihe mit einem Innenwiderstand :

  • Leerlauf (): (maximale Spannung)
  • Kurzschluss (): (maximaler Strom)
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Reale Stromquelle

Eine reale Stromquelle = ideale Stromquelle parallel zu einem Innenwiderstand :

  • Leerlauf:
  • Kurzschluss:
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Die U-I-Kennlinie

Alle vier Quellentypen auf einen Blick – die reale Quelle ist eine fallende Gerade zwischen zwei Punkten, die man messen (oder berechnen) kann:

  • : Schnittpunkt mit der U-Achse (Leerlauf)
  • : Schnittpunkt mit der I-Achse (Kurzschluss)
  • Steigung:
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Äquivalenz von realer Spannungs- und Stromquelle

Reale Spannungsquelle und reale Stromquelle sind äquivalent (gleiche Kennlinie!), wenn:

Umrechnung (gleiche !):

  • Spannungsquelle → Stromquelle:
  • Stromquelle → Spannungsquelle:

Von außen sind beide nicht unterscheidbar – wählen Sie die Darstellung, die die Rechnung einfacher macht!

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Ersatzquelle eines beliebigen Netzwerks bestimmen 🔑

Jedes lineare Netzwerk mit Quellen lässt sich an zwei Klemmen a–b als Ersatzspannungsquelle (, ) oder Ersatzstromquelle (, ) darstellen. Rezept:

  1. Leerlaufspannung : Spannung an den offenen Klemmen berechnen
  2. Innenwiderstand : alle Quellen „deaktivieren" –
    Spannungsquellen → Kurzschluss, Stromquellen → Unterbrechung –
    dann Widerstand von den Klemmen aus berechnen
  3. Kontrolle oder Alternative zu 2.: Kurzschlussstrom berechnen, dann

Das ist die zentrale Technik der Klausur-Netzwerkaufgaben!

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Beispiel: Ersatzquelle des belasteten Spannungsteilers

Unser Spannungsteiler aus letzter Woche (, ) als Ersatzquelle an den Abgriffklemmen:

→ Tafel:

  2. Quelle deaktivieren (kurzschließen):
  3. Last anschließen: ✓

Gleiche Antwort wie letzte Woche – aber jetzt in 2 Zeilen statt Netzwerk-Umformung!

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Reihenschaltung von aktiven, linearen Zweipolen

Bei der Reihenschaltung von realen Spannungsquellen addieren sich Leerlaufspannungen und Innenwiderstände:

Anwendung: Batteriepacks (Taschenlampe, E-Auto)
Vorteil: höhere Gesamtspannung • Nachteil: höherer Innenwiderstand

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Parallelschaltung von aktiven, linearen Zweipolen

Bei der Parallelschaltung von realen Spannungsquellen mit gleicher Leerlaufspannung addieren sich die Leitwerte der Innenwiderstände:

Anwendung: höhere Ströme, Redundanz
Nachteil: nur bei gleichen Spannungen sinnvoll (sonst Ausgleichsströme!)

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📝 Jetzt sind Sie dran: Ersatzquelle (zu zweit)

Aufgabe 8 (Klausuraufgaben-Typ!)

Eine Spannungsquelle speist einen Spannungsteiler aus und ; an den Klemmen über wird abgenommen. Schaltung zeichnen!

a) Bestimmen Sie allgemein die Leerlaufspannung , den Innenwiderstand und den Kurzschlussstrom der Ersatzquelle.

b) Gegeben: , im Leerlauf , bei ist . Wie groß müssen und sein?

c) Wie groß muss ein Lastwiderstand sein, damit er die größtmögliche Leistung aufnimmt, und wie groß ist diese? (Vorgriff auf nächste Woche – Vermutung reicht!)

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📝 Klausuraufgabe: Gleichstromnetzwerk (zu zweit)

Die Schaltung liefert an den Klemmen 1–2 die Spannung :

a) Wie viele unabhängige Knotenpunktgleichungen gibt es? Stellen Sie sie auf.
b) Leerlauf (): Geben Sie und in Abhängigkeit der Stromquellen an.
c) Bestimmen Sie das Spannungsquellen-Ersatzschaltbild links der Klemmen 1–2 (, allgemein).
d) Die Schaltung soll und liefern. Wie groß muss sein?

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Zwischenstand & Ausblick (Woche 4)

  • Reale Quelle = zwei Kenngrößen: und (oder äquivalent )
  • Kennlinie = fallende Gerade zwischen Leerlauf () und Kurzschluss ()
  • Rezept Ersatzquelle: im Leerlauf; mit deaktivierten Quellen; Kontrolle über
  • Quellen deaktivieren: U-Quelle → Kurzschluss, I-Quelle → Unterbrechung

Nächste Woche: Wie viel Leistung bekommt man aus einer Quelle heraus – und wie misst man in realen Schaltungen?

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Elektrische Arbeit (Energie)

Die elektrische Arbeit ist das Produkt aus Spannung, Strom und Zeit:

Einheit: (Joule)

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Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit:

Einheit: (Watt)

Die drei Schreibweisen sind über das Ohm’sche Gesetz äquivalent – nehmen Sie die, deren Größen Sie kennen.

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Leistungsanpassung

Bei welchem Verbraucherwiderstand liefert eine reale Quelle (, ) die maximale Leistung an den Verbraucher?

  • Leerlauf (): ; Kurzschluss ():
  • Maximum dazwischen: (Herleitung → Tafel)

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Anpassungsverhältnis und Wirkungsgrad

Anpassungsverhältnis:

Wirkungsgrad = Verbraucherleistung / Gesamtleistung der Quelle:

⚠️ Bei Leistungsanpassung () ist – die Hälfte der Energie heizt die Quelle!

  • Nachrichtentechnik: Anpassung (maximales Signal zählt)
  • Energietechnik: Überanpassung (Wirkungsgrad zählt)
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Betriebszustände einer aktiven Quelle

Last Leistung Quelle Leistung Last Wirkungsgrad
Kurzschluss
Unteranpassung
Anpassung
Überanpassung
Leerlauf
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U-I-Kennlinie und Arbeitspunkt

Quelle und Verbraucher in einem Diagramm:

  • Quelle: fallende Gerade
  • Verbraucher: steigende Gerade
  • Schnittpunkt = Arbeitspunkt: dort stellen sich und tatsächlich ein

Grafische Lösung – Klausuraufgaben sagen: „Ermitteln Sie grafisch …" oder „Arbeitspunkt einzeichnen"!

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📝 Jetzt sind Sie dran: Autobatterie (zu zweit)

Aufgabe 9 (= Klausuraufgaben-Typ „Kennlinie aus Messwerten")

An den Klemmen einer Autobatterie wird bei wechselnder Last gemessen:

/V 11,8 11,6 11 10 8
/A 10 20 50 100 200

a) Bestimmen Sie die Leerlaufspannung und den Innenwiderstand .

b) Die Batterie wird mit belastet. Wie hoch ist der Wirkungsgrad ?

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Reale Messungen: Spannung

Jedes reale Voltmeter hat einen endlichen Innenwiderstand und belastet die Schaltung:

  • Digitalmultimeter (DMM): typisch
  • Das Voltmeter liegt parallel zum Messobjekt → wirkt wie ein Lastwiderstand → Lastfehler, wenn nicht Quellwiderstand
  • In Klausuraufgaben: „ideales Voltmeter" = , zieht keinen Strom

Faustregel: Spannungsmessung ist unkritisch, solange

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Reale Messungen: Strom mit dem Shunt

Wie misst man große Ströme (z.B. 100 A im Bordnetz)? Über einen Shunt:

  • Kleiner, präziser Widerstand (z.B. ) im Strompfad
  • Gemessen wird die Spannung über dem Shunt:
  • Bei 100 A: – gut messbar, Verlustleistung nur 10 W

Heute überall: Batteriemanagement, Motorsteuerungen, jedes DMM im Amperebereich hat intern einen Shunt.

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Reale Messungen: Vierleitermessung

Problem: Bei kleinen Widerständen (z.B. Pt100 mit ) verfälscht der Leitungswiderstand der Zuleitungen die Messung.

Lösung – Vierleitermessung:

  • Zwei Leitungen führen den (bekannten) Messstrom
  • Zwei separate Leitungen messen die Spannung direkt am Sensor – durch sie fließt (ideales Voltmeter!) kein Strom → kein Spannungsabfall → Leitungswiderstand fällt heraus

Klausur-Klassiker (SoSe 2019!) und Alltagstechnik: jedes Labornetzteil mit „Sense"-Klemmen.

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📝 Jetzt sind Sie dran: Temperaturmessung (zu zweit)

Aufgabe 10 (Klausuraufgaben-Typ SoSe 2019)

Ein Pt100 ( bei , ) wird von einer idealen Stromquelle mit gespeist. Über eine Vierleitermessung wird direkt am Sensor gemessen.

a) Wie groß ist der Sensorwiderstand ?

b) Welche Temperatur hat der Sensor?

c) Welche Leistung nimmt der Sensor auf? Warum sollte sie klein bleiben?

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Unsere Basiseinheiten-Tabelle wächst

Elektrische Größe Formelzeichen Einheit Basiseinheiten
Ladung C
Spannung V
Kapazität F
Widerstand Ω
Leistung W

Herleitung an der Tafel: ,

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Zusammenfassung: Gleichstrom

  • ; Ohm: ; ; linear mit
  • Kirchhoff: Knoten- und Maschenregel; unabhängige Knotengleichungen
  • Reihe: R addieren, Spannungsteiler; parallel: G addieren, Stromteiler — Topologie zählt, nicht die Zeichnung!
  • Zweipoltheorie: jedes lineare Netzwerk = + ; Quellen deaktivieren für
  • Leistungsanpassung: bei , dann
  • Arbeitspunkt = Schnittpunkt von Quellen- und Lastkennlinie
  • Messen: Lastfehler, Shunt, Vierleitermessung

Nächstes Kapitel: Magnetismus – das zweite große Feld der Elektrotechnik 🧲

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